Question

已知，且，，求sin2α，cos2β，tan2β的值．

Answer 1

解：∵，∴＜α+β＜π，-＜α-β＜0，
∴cos（α+β）=-，sin（α-β）=-，tan（α+β）=-，tan（α-β）=-，
則sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=×+（-）×（-）
=；
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=（-）×+×（-）
=-；
tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]
=
=
=-．
分析：根據(jù)α和β的范圍，分別求出α+β和α-β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α+β）和sin（α-β）的值，由2α=（α+β）+（α-β），利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡sin[（α+β）+（α-β）]，然后把相應(yīng)的值代入可求出sin2α的值；由2β=（α+β）-（α-β），利用兩角差的余弦函數(shù)公式及兩角差的正切函數(shù)公式分別表示出cos[（α+β）-（α-β）]和tan[（α+β）-（α-β）]，把相應(yīng)的值代入即可求出cos2β與tan2β的值．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦及正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，靈活變換角度，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．