19.通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間:講授開始時(shí),學(xué)生的興趣激增;中間有一段不太長的時(shí)間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài);隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明,用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示學(xué)生的接受能力越強(qiáng)),x表示提出和講授概念的時(shí)間(單位:min),可有以下公式:f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-0.1{x}^{2}+2.6x+43(0<x≤10)}\\{59(10<x≤16)}\\{-3x+107(16<x≤30)}\end{array}\right.$
(1)講課開始后5min和講課開始后20min比較,何時(shí)學(xué)生的注意力更集中?
(2)講課開始后多少分鐘,學(xué)生的注意力最集中,能持續(xù)多久?
(3)一道數(shù)學(xué)難題,需要講解13min,并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到55,那么老師能否在學(xué)生達(dá)到所需狀態(tài)下講授完這道題目?請說明理由.

分析 (1)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47,即可得出;
(2)當(dāng)0<x≤10時(shí),f(x)=-0.1(x-13)2+59.9,可得f(x)在0<x≤10時(shí)單調(diào)遞增,最大值為f(10)=59.當(dāng)10<x≤16時(shí),f(x)=59;當(dāng)x>16時(shí),函數(shù)f(x)為減函數(shù),且f(x)<59.即可得出;
(3)當(dāng)0<x≤10時(shí),令f(x)=55,解得x=6或20(舍去);當(dāng)x>16時(shí),令f(x)=55,解得x=17$\frac{1}{3}$,即可得到學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力55的狀態(tài)的時(shí)間,進(jìn)而判斷出老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題.

解答 解:(1)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47<53.5,
因此開講5分鐘比開講20分鐘時(shí),學(xué)生的接受能力強(qiáng)一些.
(2)當(dāng)0<x≤10時(shí),f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,
f(x)在0<x≤10時(shí)單調(diào)遞增,最大值為f(10)=-0.1×(10-13)2+59.9=59.
當(dāng)10<x≤16時(shí),f(x)=59;當(dāng)x>16時(shí),函數(shù)f(x)為減函數(shù),且f(x)<59.
因此開講10分鐘后,學(xué)生的接受能力最強(qiáng)(為59),能維持6分鐘.
(3)當(dāng)0<x≤10時(shí),令f(x)=55,解得x=6或20(舍去);
當(dāng)x>16時(shí),令f(x)=55,解得x=17$\frac{1}{3}$,
可得學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力55的狀態(tài)的時(shí)間=17$\frac{1}{3}$-6=11$\frac{1}{3}$<13,
因此老師不能及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的意義、二次函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.

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