Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-ax+m（a∈R，m∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[-2，0]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤0在x∈[-2，0]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax-a…（1分）
依題意，得f'（x）=3x²+2ax-a≤0在[-2，0]上恒成立
∴f'（-2）=12-5a≤0，f'（0）=-a≤0，解得$a≥\frac{12}{5}$，
∴a的取值范圍是[$\frac{12}{5}$，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a∈[3，6]時(shí)，f（x）在[-2，0]上是減函數(shù)
所以當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）_max=f（-2）=-8+6a+m原命題等價(jià)于-8+6a+m≤0對?a∈[3，6]恒成立…（9分
∵g（a）=6a+m-8在[3，6]上遞增，g（a）_max=g（6）=28+m
∴28+m≤0，m≤-28
所以m的取值范圍是（-∞，-28]…（12分）

點(diǎn)評 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和恒成立問題的轉(zhuǎn)化．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．