Question

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，在處取得極值，且

，

（Ⅰ）求的極大值和極小值；

（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有

成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求直線OM斜率的最

小值，據(jù)此判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極大值和極小值分別為4和0 （Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（I）依題意，，解得，

由已知可設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061510223611806661/SYS201306151023185711706106_DA.files/image007.png">，所以，

則，導(dǎo)函數(shù)．

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值4	遞減	極小值0	遞增

由上表可知在處取得極大值為，

在處取得極小值為．

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，由（I）知在上遞增，

所以的最大值，

由對任意的恒成立，得，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061510223611806661/SYS201306151023185711706106_DA.files/image025.png">，所以，則，

因此的取值范圍是．

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061510223611806661/SYS201306151023185711706106_DA.files/image030.png">，所以的最大值，

由對任意的恒成立，得，∴，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061510223611806661/SYS201306151023185711706106_DA.files/image029.png">，所以，因此的取值范圍是，

綜上①②可知，的取值范圍是．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，直線斜率，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061510223611806661/SYS201306151023185711706106_DA.files/image040.png">，所以，則，

即直線斜率的最小值為4 

首先，由，得.

其次，當(dāng)時(shí)，有，所以，

證明如下：記，則，

所以在遞增，又，

則在恒成立，即，所以.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)極值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查兩個(gè)數(shù)比較大小的方法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．