如圖,在△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1)

(1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)若BE⊥AC,求證:平面BEF⊥平面ACD.
分析:(1)由AB⊥平面BCD,知AB⊥CD,由CD⊥BC,知CD⊥平面ABC.由
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1)
,知不論λ為何值,恒有EF∥CD,由此能夠證明不論λ為何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由EF⊥平面ABC,知BE⊥EF,由BE⊥AC,知BE⊥平面ACD,由此能夠證明平面BEF⊥平面ACD.
解答:(本小題滿分15分)
證明:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,(1分)
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.(4分)
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1)

∴不論λ為何值,恒有EF∥CD,(5分)
∴EF⊥平面ABC,又EF在平面BEF內(nèi),(7分)
∴不論λ為何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(8分)
(2):由(1)知EF⊥平面ABC,∴BE⊥EF,(10分)
又∵BE⊥AC且EF∩AC=E,∴BE⊥平面ACD,(13分)
又BE在平面BEF內(nèi),
∴平面BEF⊥平面ACD.(15分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1).
(1)判斷EF與平面ABC的位置關(guān)系并給予證明;
(2)是否存在λ,使得平面BEF⊥平面ACD,如果存在,求出λ的值,如果不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆河北省高一上學(xué)期二調(diào)數(shù)學(xué) 題型:解答題

如圖,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且==λ(0<λ<1).

(1)判斷EF與平面ABC的位置關(guān)系并給予證明;

(2)是否存在λ,使得平面BEF⊥平面ACD,如果存在,求出λ的值,如果不存在,說(shuō)明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且數(shù)學(xué)公式=λ(0<λ<1).
(1)判斷EF與平面ABC的位置關(guān)系并給予證明;
(2)是否存在λ,使得平面BEF⊥平面ACD,如果存在,求出λ的值,如果不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1)

(1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)若BE⊥AC,求證:平面BEF⊥平面ACD.
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