Question

給出下列命題：
①f(x)=

4-x2

+

x2-4

既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
②f（x）=x和f(x)=

x2

x

為同一函數(shù)；
③已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
④函數(shù)y=

x

2x2+1

的值域?yàn)?span id="bpn2qzr" class="MathJye">[-

2

4

，

2

4

]．
其中正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式分析出函數(shù)f(x)=

4-x2

+

x2-4

的定義域，進(jìn)而得到函數(shù)的圖象，結(jié)合奇偶函數(shù)圖象的對稱性，可判斷①的真假；
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致，結(jié)合同函數(shù)的定義，可判斷②的真假；
舉出反例f（x）=

-1

x

，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性，可以判斷③的真假；
將函數(shù)解析式變形為y=

x

2x2+1

=

1

2x + 1 x

，結(jié)合基本不等式，分類討論函數(shù)的值域，綜合討論結(jié)果可判斷④的真假．

解答：解：函數(shù)f(x)=

4-x2

+

x2-4

的定義域?yàn)閧-2，2}，其圖象是點(diǎn)（-2，0）和（2，0），即關(guān)于原點(diǎn)對稱也關(guān)于y軸對稱，故f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，即①正確；
f（x）=x的定義域?yàn)镽，f(x)=

x2

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，故兩者不為同一函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
已知f（x）=

-1

x

為定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，但函數(shù)在（-∞，+∞）上不為增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
④函數(shù)y=

x

2x2+1

=

1

2x + 1 x

當(dāng)x＞0時(shí)，2x +

1

x

≥2

2

，則y∈（0，

2

4

]
當(dāng)x=0時(shí)，則y=0
當(dāng)x＜0時(shí)，2x +

1

x

≤-2

2

，則y[-

2

4

，0）
綜上，函數(shù)的值域?yàn)?span id="p2lm8jw" class="MathJye">[-

2

4

，

2

4

]，故④正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性，同一函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域等，其中④函數(shù)值域的求解難度稍大，要注意基本不等式的應(yīng)用．