Question

12．已知正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₂=4，且對任意n∈N^*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}}{{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$
（1）求a₁，a₃，并猜想數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）的猜想，設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}的前n項和為S_n，求證：S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）對任意n∈N^*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$，可得n=1時，$2+\frac{1}{{a}_{2}}$＜2$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，化為：$\frac{2}{3}＜{a}_{1}＜\frac{8}{7}$，由a₁是正整數(shù)，可得a₁=1．當(dāng)n=2時，可得：8＜a₃＜10，可得a₃=9，猜想a_n=n²．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 （1）解：對任意n∈N^*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$，可得n=1時，$2+\frac{1}{{a}_{2}}$＜2$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，∴$2+\frac{1}{4}$$＜2（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{4}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，化為：$\frac{2}{3}＜{a}_{1}＜\frac{8}{7}$，∵a₁是正整數(shù)，∴a₁=1．
當(dāng)n=2時，可得：8＜a₃＜10，可得a₃=9，猜想a_n=n²．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1+$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
∴S_n＜2．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項求和”方法、放縮法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．