已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù),設(shè)為該函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn),且.
⑴指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,且,求的最小值;
⑶若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)重合,求的取值范圍.

(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)1;(3)

解析試題分析:(1)根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)知,分段函數(shù)時(shí)是二次函數(shù)的一部分,有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間:增區(qū)間,減區(qū)間,時(shí)是對(duì)數(shù)函數(shù),只有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)圖象來(lái)講,它在某點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于該函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),故有,由于,兩點(diǎn)在軸的左邊,,因此有,顯然有可以表示為關(guān)于的函數(shù),從而求出最小值(應(yīng)用基本不等式即可得解)也可以直接湊配出基本不等式的形式,利用基本不等式);(3)這里我們首先分析所處范圍,結(jié)合圖象易知不可能在同一單調(diào)區(qū)間,只能是,那么我們可得出兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程分別為,,兩條切線(xiàn)相同,則有,于是可把表示為(或者)的函數(shù),把求匠范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.
試題解析:(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為      4分
(2),
當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/d/ixg5e.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.      8分


當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
的最小值為1.      10分
(3)當(dāng)時(shí),,故
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為


當(dāng)時(shí),函數(shù)切線(xiàn)方程為
兩切線(xiàn)重合的充要條件是      13分
由①及
由①②得
,與都為減函數(shù).
      16分
考點(diǎn):(1)單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)圖象的切線(xiàn)及基本不等式;(3)切線(xiàn)與函數(shù)的值域.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知是正數(shù),,
(Ⅰ)若成等差數(shù)列,比較的大小;
(Ⅱ)若,則三個(gè)數(shù)中,哪個(gè)數(shù)最大,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若,,),且,的整數(shù)部分分別是求所有的值.

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已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求函數(shù)的零點(diǎn);
(3)若函數(shù)的最小值為-4,求a的值.

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為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源消耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層,某棟建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度(單位:)滿(mǎn)足關(guān)系:
若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。
(Ⅰ)求的值及的表達(dá)式;
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用最小,并求最小值.

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已知,
(1)求的最大值;
(2)求的最小值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知(a是常數(shù),a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)求不等式的解集;
(Ⅱ)如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品(百臺(tái)),其總成本為(萬(wàn)元),其中固定成本為2.8萬(wàn)元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本)。銷(xiāo)售收入(萬(wàn)元)滿(mǎn)足,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣(mài)掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請(qǐng)完成下列問(wèn)題:
分別寫(xiě)出和利潤(rùn)函數(shù)的解析式(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入—總成本);
工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?并求出此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(1)                  
(2)計(jì)算

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥,據(jù)監(jiān)測(cè),如果成人按規(guī)定劑量服用該藥,服藥后每毫升血液中的含藥量與服藥后的時(shí)間之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn).其中是線(xiàn)段,曲線(xiàn)段是函數(shù)是常數(shù)的圖象.

(1)寫(xiě)出服藥后每毫升血液中含藥量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)據(jù)測(cè)定:每毫升血液中含藥量不少于時(shí)治療有效,假若某病人第一次服藥為早上,為保持療效,第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘?
(3)若按(2)中的最遲時(shí)間服用第二次藥,則第二次服藥后再過(guò),該病人每毫升血液中含藥量為多少?

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