Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x²-2x+13．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[1，3]時，求f（x）的值域；
（3）當x∈[1，5]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：

分析：（1）由f（x）+f（x+1）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2-2x+13，由此求出a，b，c的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）（3）分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域，最值問題．

解答： 解：（1）由f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
得f（x）+f（x+1）=2ax²+（2a+2b）x+a+b+2c
=2x²-2x+13，
∴

2a=2 2a+2b=-2 a+b+2c=13

，解得：

a=1 b=-2 c=7

，
∴f（x）=x²-2x+7；
（2）∵f（x）=x²-2x+7=（x-1）²+6，
∴f（x）在[1，3]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=6，f（x）_max=f（3）=10，
∴當x∈[1，3]時，f（x）∈[6，10]；
（3）∵f（x）在[1，5]遞增，
∴f（x）_max=f（5）=22．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，是一道基礎題．