Question

18．已知f（x）=x⁴-lnx+ax³在[3，5]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，問題轉化為a≥$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$在[3，5]上恒成立，令g（x）=$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$，x∈[3，5]，根據(jù)函數(shù)的單調性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=x⁴-lnx+ax³在的定義域是（0，+∞），
f′（x）=4x³-$\frac{1}{x}$+3ax²=$\frac{{4x}^{4}+3{ax}^{3}-1}{x}$，
若f（x）在[3，5]上是增函數(shù)，
則a≥$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$在[3，5]上恒成立，
令g（x）=$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$，x∈[3，5]，
g′（x）=-$\frac{{4x}^{4}+3}{{3x}^{4}}$＜0，
g（x）在[3，5]遞減，
g（x）_max=g（3）=-$\frac{323}{81}$，
故a≥-$\frac{323}{81}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．