A. | [-1,3] | B. | $[{-\frac{2}{3},3}]$ | C. | $[{-\frac{2}{3},\frac{10}{3}}]$ | D. | $[{-1,\frac{10}{3}}]$ |
分析 利用余弦定理求得AB、AC的值,再根據(jù)E是線段BC較靠近點C的一個四等分點,利用兩個向量的加減法的法則,以及其幾何意義,兩個向量數(shù)量積的運算求得 $\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{12λ-2}{3}$,λ∈[0,1],從而求得它的取值范圍.
解答 解:設(shè)AB=AC=x,則由BC=4,∠BAC=120°,
利用余弦定理可得16=x2+x2-2x•xcos120°,∴x=$\sqrt{\frac{16}{3}}$.
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=x•x•cos120°=-$\frac{8}{3}$.
∵$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$,∴E是線段BC較靠近點C的一個四等分點,
若P是BC邊上的動點,則$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$,λ∈[0,1],
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$)•($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$)=($\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$)•($\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$)
=[(1-λ)$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$]•($\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$ )
=$\frac{1-λ}{4}$•${\overrightarrow{AB}}^{2}$+($\frac{3-3λ}{4}$+$\frac{λ}{4}$)$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{3λ}{4}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{1-λ}{4}$•$\frac{16}{3}$+$\frac{3-2λ}{4}$•(-$\frac{8}{3}$)+$\frac{3λ}{4}$•$\frac{16}{3}$=$\frac{12λ-2}{3}$,
故當λ=0時,$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$ 取得最小值為-$\frac{2}{3}$,當λ=1時,$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$ 取得最大值為$\frac{10}{3}$,
故選:C.
點評 本題主要考查余弦定理,兩個向量的加減法的法則,以及其幾何意義,兩個向量數(shù)量積的運算,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | h(x)<g(x) | B. | h(x)>g(x) | C. | h(x)+g(a)>g(x)+h(a) | D. | h(x)+g(b)>g(x)+h(b) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | ?x∈R,x2≥x | |
B. | 命題“若x=1,則x2=1”的逆命題 | |
C. | ?α0,β0∈R,使得sin(α0+β0)=sinα0+sinβ0 | |
D. | 命題“若x≠y,則sinx≠siny”的逆否命題 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 3 | C. | 1+lg99 | D. | 2+lg99 |
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