Question

如圖，已知直線l：x=my+1過橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．（1）橢圓C的方程；（2）直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說明理由；（3）接AE、BD，試證明當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) 當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值為定值；

(3)當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）知橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），∴c=1，

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，∴∴b²=3

∴a²=b²+c²=4∴橢圓C的方程  4分

（2）知m≠0，且l與y軸交于，

設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由-  5分

∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0

∴  6分

又由

∴

同理-  7分

∴

∵

∴

所以，當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值為定值；  9分

（3）：由（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）

方法1）∵   10分

當(dāng)時(shí)，=

=  12分

∴點(diǎn)在直線l_AE上，  13分

同理可證，點(diǎn)也在直線l_BD上；

∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)  14分

方法2）∵  10分

-  11分

=  12分

∴k_EN=k_AN∴A、N、E三點(diǎn)共線，

同理可得B、N、D也三點(diǎn)共線；  13分

∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)．  14分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于橢圓的幾何性質(zhì)的表示，以及聯(lián)立方程組的思想結(jié)合韋達(dá)定理來求解，屬于基礎(chǔ)題。