Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，且直線(xiàn)為上一點(diǎn)，且的最小值為.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)是拋物線(xiàn)上，分別位于軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.求證：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）依題意，設(shè)出M、N坐標(biāo)及直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，由題意和切線(xiàn)的幾何意義知，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為1，因此得，可得切線(xiàn)的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)并求得最小值為可解出p，即可求拋物線(xiàn)C的方程，并求其準(zhǔn)線(xiàn)方程；

（2）直線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)的方程為，代入y2=4x，利用韋達(dá)定理結(jié)合，求出b，即可證明直線(xiàn)l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

(1)依題意，直線(xiàn)的方程為.

設(shè),

將直線(xiàn)的方程代入中，

得，

因此.

設(shè)直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，

由題意和切線(xiàn)的幾何意義知，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率即導(dǎo)數(shù)為1，

因此得，

切點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因此切線(xiàn)的方程為.

設(shè)，

于是

將，代入其中，

可得.

當(dāng)時(shí)，取得最小值，

由，

可解得正數(shù)值為2，

因此所求的拋物線(xiàn)方程為.

（2）顯然，直線(xiàn)的斜率一定存在，

設(shè)的方程為，，

則，

故，

也即，①

將代入拋物線(xiàn)中，

得，

故.

將它們代入到①中，得，

解得，

因此直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).