Question

已知數(shù)列a_n=

8n

(2n-1)2×(2n+1)2

（n∈N^*），其前n項和為S_n．經(jīng)計算得：S₁=

8

9

，S₂=

24

25

，S₃=

48

49

，S₄=

80

81

．
（Ⅰ）觀察上述結(jié)果，猜想計算S_n的公式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明所提猜想．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）猜想：S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

(n∈N*)；
（Ⅱ）利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．

解答： 解：（Ⅰ）猜想：S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

(n∈N*)．…．…..（2分）
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)n=1時，左=S1=

8

9

，右=

32-1

32

=

8

9

，猜想成立．…．…..（3分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，即S_k=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

(k∈N*)．…．…..（4分）
那么 S_k+1=S_k+a_k+1=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

(2k+1)2×(2k+3)2

…．…..（5分）=

[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+3)2-1

(2k+3)2

．…．…..（7分）
即當(dāng)n=k+1時猜想也成立．
根據(jù)（1）和（2）可知，猜想對?n∈N^*都成立．…．…..（8分）

點評：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證．