Question

20．在△ABC中，b=4，c=3，BC邊上的中線$m=\frac{{\sqrt{37}}}{2}$，則a=（　�。�

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 分別在△ABD和△ACD中使用余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC，根據(jù)兩角的關(guān)系列方程解出a．

解答 解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則AD=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．BD=CD=$\frac{a}{2}$．
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{\frac{37}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-9}{\frac{\sqrt{37}a}{2}}$，
在△ACD中，由余弦定理得：
cos∠ADC=$\frac{A{D}^{2}+C{D}^{2}-A{C}^{2}}{2AD•CD}$=$\frac{\frac{37}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-16}{\frac{\sqrt{37}a}{2}}$，
∵∠ADB+∠ADC=π，
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，即$\frac{37}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-9+$\frac{37}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-16=0．
解得a=$\sqrt{13}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．