Question

3．若0≤α＜β＜γ＜2π且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求β-α

Answer 1

分析 由已知等式表示出cosγ與sinγ，代入sin²γ+cos²γ=1中，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得解β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①同理可得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②，γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．解得β-α的值為$\frac{2π}{3}$．

解答 解：∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，
∴cosγ=-cosα-cosβ，sinγ=-sinα-sinβ，
∵sin²γ+cos²γ=1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，
整理得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤α＜β＜2π，
∴0＜β-α＜2π
∴β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①
∴同理可得：cos（γ-β）=-$\frac{1}{2}$，解得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②．
cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$；解得：γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．
∵0≤α＜β＜γ＜2π，
∴β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$．
故β-α的值為$\frac{2π}{3}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，考查了三角函數(shù)的恒等變形，兩角和與差的三角函數(shù)，公式的正確應(yīng)用的解題關(guān)鍵，屬于中檔題．