Question

20．把函數(shù)f（x）=3x²+2（a-1）x+a²，x∈[-1，1]的最小值記為g（a）．
（1）寫出g（a）的解析式；
（2）若f（x）的最小值為13，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分對稱軸在區(qū)間[-1，1]的左側(cè)、中間、由側(cè)三種情況，分別求得函數(shù)的最小值．
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合f（x）的最小值為13，求a的值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=3x²+2（a-1）x+a²=3（x+$\frac{a-1}{3}$）²+$\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}$，x∈[-1，1]，
故當-$\frac{a-1}{3}$＜-1，即a＞4時，f（x）的最小值g（a）=f（-1）=a²-2a+5；
當-1≤-$\frac{a-1}{3}$≤1，即-2≤a≤4時，f（x）的最小值g（a）=f（-$\frac{a-1}{3}$）=$\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}$；
當-$\frac{a-1}{3}$＞1，即a＜-2時，f（x）的最小值g（a）=f（1）=a²+2a+1．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a+1，a＜-2}\\{\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}，-2≤a≤4}\\{{a}^{2}-2a+5，a＞4}\end{array}\right.$；
（2）令a²-2a+5=13，可得a=4或-2，不符合題意；
$\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}$=13，可得a=4或-5，a=4符合題意；
a²+2a+1=13，可得a=-1±$\sqrt{13}$，a=-1-$\sqrt{13}$符合題意．
綜上可得a=-1-$\sqrt{13}$或4．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬中檔題．