【題目】如圖,矩形中,,為的中點,現(xiàn)將與折起,使得平面及平面都與平面垂直.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:(1)分別取中點,分別連接,可證明平面平面,可得,又,∴四邊形為平行四邊形,,從而可得平面;(2)以為原點,為,正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,可得平面的一個法向量,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.
詳解:(1)分別取中點,分別連接,則且
∵平面及平面都與平面垂直,
∴平面平面,
由線面垂直性質(zhì)定理知,又,
∴四邊形為平行四邊形,
又平面,∴平面.
(2)如圖,以為原點,為,正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則.
平面的一個法向量,設(shè)平面的法向量,
則,取得
∴,
注意到此二面角為鈍角,
故二面角的余弦值為.
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【題目】已知橢圓的離心率為,拋物線與橢圓在第一線象限的交點為.
(1)求曲線、的方程;
(2)在拋物線上任取一點,在點處作拋物線的切線,若橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱,求點的縱坐標(biāo)的取值范圍.
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【題目】如圖1,等邊△ABC中,AC=4,D是邊AC上的點(不與A,C重合),過點D作DE∥BC交AB于點E,沿DE將△ADE向上折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,如圖2所示.
(1)若異面直線BE與AC垂直,確定圖1中點D的位置;
(2)證明:無論點D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的余弦值都為定值,并求出這個定值.
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【題目】判斷下列說法是否正確,若錯誤,請舉出反例
(1)互斥的事件一定是對立事件,對立事件不一定是互斥事件;
(2)互斥的事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件;
(3)事件與事件B中至少有一個發(fā)生的概率一定比與B中恰有一個發(fā)生的概率大;
(4)事件與事件B同時發(fā)生的概率一定比與B中恰有一個發(fā)生的概率小.
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【題目】如果函數(shù)的定義域為,且存在實常數(shù),使得對于定義域內(nèi)任意,都有成立,則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”,若具有“性質(zhì)”,求出所有的值的集合,若不具有“性質(zhì)”,請說明理由;
(2)已知函數(shù)具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時,,求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(3)已知函數(shù)既具有“性質(zhì)”,又具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時,,若函數(shù)的圖像與直線有2017個公共點,求實數(shù)的值.
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【題目】繼共享單車之后,又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開始亮相北上廣深等十余大中城市,一款叫“一度用車”的共享汽車在廣州提供的車型是“奇瑞eQ”,每次租車收費按行駛里程加用車時間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里+0.1元/分鐘”,李先生家離上班地點10公里,每天租用共享汽車上下班,由于堵車因素,每次路上開車花費的時間是一個隨機變量,根據(jù)一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費時間在各時間段內(nèi)的情況如下:
時間(分鐘) | |||||
次數(shù) | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各時間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分鐘.
(Ⅰ)若李先生上.下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇,設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù),求的分布列和期望.
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽車2次,一個月(以20天計算)平均用車費用大約是多少(同一時段,用該區(qū)間的中點值作代表).
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【題目】已知函數(shù),其中a >2.
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(II)若對于任意的,恒有,求a的取值范圍.
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【題目】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,又函數(shù).
(1)求實數(shù)的值,并說明函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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