【題目】如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求證:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.
【答案】
(1)證明:如圖,
由AB是圓的直徑,得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA平面APC,AC平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因?yàn)锽C平面PBC,
所以平面PAC⊥平面PBC;
(2)解:過C作CM⊥AB于M,
因?yàn)镻A⊥平面ABC,CM平面ABC,所以PA⊥CM,
故CM⊥平面PAB.
過M作MN⊥PB于N,連接NC.
由三垂線定理得CN⊥PB.
所以∠CNM為二面角C﹣PB﹣A的平面角.
在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得 , , .
在Rt△ABP中,由AB=2,AP=1,得 .
因?yàn)镽t△BNM∽Rt△BAP,所以 .
故MN= .
又在Rt△CNM中, .故cos .
所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值為 .
【解析】(1)要證平面PAC⊥平面PBC,只要證明平面PBC經(jīng)過平面PAC的一條垂線BC即可,利用題目給出的條件借助于線面垂直的判定定理能夠證明BC⊥平面PAC(2)因?yàn)槠矫鍼AB和平面ABC垂直,只要在平面ABC內(nèi)過C作兩面的交線AB的垂線,然后過垂足再作PB的垂線,連結(jié)C和后一個(gè)垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角,然后在作出的直角三角形中通過解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平面與平面垂直的判定,掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為 ,底面是邊長為 的正三角形,若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面A1B1C1所成角的大小為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn)在線段上.過點(diǎn)作交于點(diǎn),將沿折起到的位置(點(diǎn)與重合),使得.
(Ⅰ)求證:.
(Ⅱ)試問:當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí),二面角的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出其定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數(shù),且曲線y=f(x)在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記為l1,曲線y=g(x)在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記為l2,且l1∥l2.
(1)求l1,l2之間的距離;
(2)若存在x使不等式成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)和g(x)的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0,稱|f(x0)-g(x0)|的值為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)f(x)和g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分別是AB,PD的中點(diǎn),且PA=AD.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求證:平面PEC⊥平面PCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是某港口水的深度(單位:)關(guān)于時(shí)間的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從時(shí)至時(shí)記錄的時(shí)間與水深的關(guān)系:
t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 |
經(jīng)長期觀察,函數(shù)的圖像可以近似看成函數(shù)的圖像.最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過點(diǎn)的橢圓: ()的左右焦點(diǎn)分別為、, 為橢圓上的任意一點(diǎn),且, , 成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線: 交橢圓于, 兩點(diǎn),若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,若,,成等差數(shù)列,且三個(gè)內(nèi)角,,也成等差數(shù)列,則的形狀為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若為偶函數(shù),求的值并寫出的增區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集為,當(dāng)時(shí),求的最小值;
(Ⅲ)對任意的,,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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