Question

直線l₁和l₂是圓x²+y²=2的兩條切線，若l₁與l₂的交點(diǎn)為（1，3），則l₁與l₂的夾角的正切值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩直線的夾角與到角問(wèn)題

專題：直線與圓

分析：設(shè)l₁與l₂的夾角為2θ，由于l₁與l₂的交點(diǎn)A（1，3）在圓的外部，由直角三角形中的邊角關(guān)系求得sinθ=

r

OA

的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根據(jù)tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：設(shè)l₁與l₂的夾角為2θ，由于l₁與l₂的交點(diǎn)A（1，3）在圓的外部，
且點(diǎn)A與圓心O之間的距離為OA=

1+9

=

10

，
圓的半徑為r=

2

，
∴sinθ=

r

OA

=

2

10

，
∴cosθ=

2 2

10

，tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

2

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

1

1- 1 4

=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，直角三角形中的變角關(guān)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題．