Question

已知|AB|=3，C是線段AB上異于A，B的一點，△ADC，△BCE均為等邊三角形，則△CDE的外接圓的半徑的最小值是

3

2

．

Answer 1

分析：設(shè)AC=m，CB=n，則m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE²=9-3mn，利用基本不等式，可得DE≥

3

2

，再利用△CDE的外接圓的半徑R=

DE

2sin∠DCE

=

DE

3

≥

3

2

，即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)AC=m，CB=n，則m+n=3，
在△CDE中，由余弦定理知DE²=CD²+CE²-2CD•CEcos∠DCE=m²+n²-mn=（m+n）²-3mn=9-3mn
又mn≤(

m+n

2

)2=

9

4

，當且僅當m=n=

3

2

時，取“=”，所以DE≥

3

2

，
又△CDE的外接圓的半徑R=

DE

2sin∠DCE

=

DE

3

≥

3

2

∴△CDE的外接圓的半徑的最小值是

3

2

故答案為：

3

2

．

點評：本題考查余弦定理的運用，考查基本不等式，考查正弦定理的運用，確定DE的范圍是關(guān)鍵．