Question

19．求曲線y=x³-x+1過點(diǎn)（1，1）的切線方程為2x-y-1=0或x+4y-5=0．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，分點(diǎn)（1，1）是切點(diǎn)和原點(diǎn)不是切點(diǎn)兩類求，先求出函數(shù)y=x³-x+1的導(dǎo)函數(shù)，然后求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程即可．

解答 解：∵y=x³-x+1，∴y′=3x²-1，
設(shè)切線的斜率為k，切點(diǎn)是（x₀，y₀），
則有y₀=x₀³-x₀+1，①
k=f′（x₀）=3x₀²-1，
又k=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}-1}$=3x₀²-1，②
由①②得x₀=1，或x₀=$\frac{1}{2}$，
k=2，或k=-$\frac{1}{4}$．
∴所求曲線的切線方程為：2x-y-1=0或x+4y-5=0，
故答案為2x-y-1=0或x+4y-5=0．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；注意“在點(diǎn)處的切線”與“過點(diǎn)的切線”的區(qū)別．屬于中檔題．