Question

8．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）經(jīng)過兩點$P（{-3，2\sqrt{7}}）$和$Q（{-6\sqrt{2}，-7}）$；
（2）與雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$有共同的漸近線，且過點$（{2，2\sqrt{3}}）$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為my²-ny²=1（mn＞0），代入P，Q的坐標(biāo)，解方程即可得到所求雙曲線的方程；
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=λ（{λ≠0}）$，代入點$（{2，2\sqrt{3}}）$，解方程即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為my²-ny²=1（mn＞0），
將點P、Q坐標(biāo)代入可得9m-28n=1，且72m-49n=1，
求得$m=-\frac{1}{75}$，$n=-\frac{1}{25}$．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{75}=1$．
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=λ（{λ≠0}）$，
點$（{2，2\sqrt{3}}）$代入得$\frac{4}{4}$-$\frac{12}{3}$=λ，
解得λ=-3，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{12}=1$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，以及與漸近線方程的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．