Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的方程為，定點，點是曲線上的動點， 為的中點.

（1）求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）已知直線與軸的交點為，與曲線的交點為，若的中點為，求的長.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）求出曲線C1的直角坐標方程為，設(shè)點N（x′，y′），Q（x，y），由中點坐標公式得，由此能求出點Q的軌跡C2的直角坐標方程．（2）的坐標為，設(shè)的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）代入曲線的直角坐標方程得，根據(jù)韋達定理，利用t的參數(shù)意義得

即可得解.

試題解析：

（1）由題意知，曲線的直角坐標方程為.

設(shè)點， ，由中點坐標公式得，

代入中，得點的軌跡的直角坐標方程為.

（2）的坐標為，設(shè)的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）代入曲線的直角坐標方程得： ，

設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，

則， ， .