Question

一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時(shí)10公里時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)5元，而其它和速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)80元．
（1）將1小時(shí)的燃料費(fèi)P元表示為速度v（公里/小時(shí)）的函數(shù)；
（2）已知甲，乙兩地相距100公里，問該輪船以多大的速度行駛時(shí)，從甲地行駛到乙地所需的費(fèi)用總和為最��？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，代入速度與每小時(shí)燃料費(fèi)的關(guān)系值求出比例系數(shù)即可；
（2）根據(jù)題設(shè)要求設(shè)出行駛總費(fèi)用與速度之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的最小值即可．

解答：解：（1）1小時(shí)的燃料費(fèi)P元與速度v（公里/小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系可以表示為p=kv³．
又∵5=k•10³，∴k=0.005，∴p=0.005v³．（v＞0）（3分）
（2）設(shè)從甲地行駛到乙地所需的費(fèi)用總和為y元，
則y=

100

v

(0.005v3+80)=0.5v2+

8000

v

．（v＞0）（7分）
∴y′=v-

8000

v2

，由y′=0，得v=20（公里/小時(shí)）．（10分）
又∵當(dāng)v＜20時(shí)，y′＜0；當(dāng)v＞20時(shí)，y′＞0．
∴當(dāng)速度為20公里/小時(shí)時(shí)，航行所需的費(fèi)用總和為最小，最小值為600元．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是實(shí)際應(yīng)用題，考查學(xué)生建立函數(shù)模型的能力，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題，是高考的常考知識(shí)點(diǎn)．