已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線A C、BD過原點O,若,
(i) 求的最值.
(ii) 求證:四邊形ABCD的面積為定值;
(1). (2)(i)的最大值為2. (ii)
.即,四邊形ABCD的面積為定值
解析試題分析:(1)由題意,,又, 2分
解得,橢圓的標準方程為. 4分
(2)設(shè)直線AB的方程為,設(shè)
聯(lián)立,得
-①
6分
7分
= 8分
9分
(i)
當k=0(此時滿足①式),即直線AB平行于x軸時,的最小值為-2.
又直線AB的斜率不存在時,所以的最大值為2. 11分
(ii)設(shè)原點到直線AB的距離為d,則
.
即,四邊形ABCD的面積為定值 13分
考點:本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
點評:對于直線與圓錐曲線的綜合問題,往往要聯(lián)立方程,同時結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解;而對于最值問題,則可將該表達式用直線斜率k表示,然后根據(jù)題意將其進行化簡結(jié)合表達式的形式選取最值的計算方式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的長軸長為,一個焦點的坐標為(1,0).
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點,點P為橢圓的右頂點.
(。┤糁本l斜率k=1,求△ABP的面積;
(ⅱ)若直線AP,BP的斜率分別為,,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知點M是圓C:上的一點,且軸,為垂足,點滿足,記動點的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲線E的長為2的動弦,O為坐標原點,求面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知點R(-3,0),點P在y軸上,點Q在x軸的正半軸上,點M在直線PQ上 ,且滿足,.
(Ⅰ)當點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)為軌跡C上兩點,且,N(1,0),求實數(shù),使,且.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為,離心率為。
(1)若,求橢圓的方程。
(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點,分別為線段的中點。若坐標原點在以線段為直徑的圓上,且,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的離心率為,定點,橢圓短軸的端點是,,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點且斜率不為的直線交橢圓于,兩點.試問軸上是否存在定點,使平分?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知三點,曲線上任一點滿足=
(1) 求曲線的方程;
(2) 設(shè)是(1)中所求曲線上的動點,定點,線段的垂直平分線與軸交于點,求實數(shù)的最小值.
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