【題目】圓與軸交于、兩點，為圓上一點.橢圓以、為焦點且過點.

（Ⅰ）當點坐標為時，求的值及橢圓方程；

（Ⅱ）若直線與（Ⅰ）中所求的橢圓交于、不同的兩點，且點，，求直線在軸上截距的取值范圍.

【答案】（Ⅰ），橢圓方程為；（Ⅱ）當時，直線在軸上的截距的取值范圍是；當時，直線在軸上的截距的取值范圍是.

.

【解析】

（Ⅰ）由圓與軸的交點為得橢圓的焦距，從而橢圓方程化為，將代入圓，能求出，從而，由此能求出，進而能求出橢圓方程.

（Ⅱ）由，得點在線段的中垂線上，當時，與橢圓交于兩點都滿足題意，從而；當時，設，，中點，由，得，由，得，再利用點差法能求出結果.

（Ⅰ）由圓與軸的交點為得橢圓的焦距

橢圓方程化為……①

將代入圓，得

代入①式，得

解得

橢圓方程為

（Ⅱ）由，得點應該在線段的中垂線上

當時，與橢圓交于兩點都滿足題意

當時，設，，中點

由，消得

由，得……②

由，作差，得

由，及，得……③

……④

由③④得，代入中，得……⑤

將⑤式代入②式，得

由⑤得，得

的取值范圍是

綜上，當時，直線在軸上的截距的取值范圍是；

當時，直線在軸上的截距的取值范圍是.

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