Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F是拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，M（

2

3

，m）是C₁與C₂在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且|MF|=

5

3

．
（1）求C₁與C₂的方程；
（2）若F是橢圓C的右焦點(diǎn)，過F的直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，T為直線x=4上任意一點(diǎn)，且T不在x軸上．
  （i）求

FM

•

FN

的取值范圍；
  （ii）若OT平分線段MN，證明：TF⊥MN（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先由拋物線定義及|MF|=

5

3

，求出p的值，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程，進(jìn)而求其坐標(biāo)，再由橢圓焦點(diǎn)為F（1，0），又過M點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出橢圓方程；
（2）（i）求出F的坐標(biāo)，分直線l的斜率存在和不存在分析，當(dāng)斜率不存在時(shí)直接求出M，N的坐標(biāo)求解，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N的橫坐標(biāo)的和與積，代入數(shù)量積公式整理，化為直線斜率的函數(shù)，由k的范圍得答案；
（ii）設(shè)出MN的中點(diǎn)Q，由（i）得到Q的坐標(biāo)，得到直線OT的方程，求出T的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到TF的斜率，由兩直線的斜率之積等于-1得答案．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)M（

2

3

，m）在拋物線上，且|MF|=

5

3

，拋物線準(zhǔn)線為x=--

p

2

，∴

2

3

+

p

2

=

5

3

，解得：p=2，
∴拋物線方程為y²=4x，
點(diǎn)M（

2

3

，m）代入y²=4x得m=

2 6

3

，∴M（

2

3

，

2 6

3

），由它在橢圓上及橢圓右焦點(diǎn)為F（1，0）
得

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

，解得，a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）（�。┯桑�1）得F（1，0），
①若直線l斜率不存在，則l：x=1，此時(shí)M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），

FM

•

FN

=-

9

4

；
②若直線l斜率存在，設(shè)l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
∴

FM

•

FN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=-

9

4- 1 1+k2

，
∵k²≥0，∴0＜

1

1+k2

≤1，
∴3≤4-

1

1+k2

＜4，
∴-3≤

FM

•

FN

＜-

9

4

．
綜上，

FM

•

FN

的取值范圍為[-3，-

9

4

）；
（ⅱ）線段MN的中點(diǎn)為Q，則由（�。┛傻茫瑇_Q=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，
y_Q=k（x_Q-1）=

-3k

4k2+3

，
∴直線OT的斜率k′=

yQ

xQ

=-

3

4k

，
∴直線OT的方程為：y=-

3

4k

x，
從而T（4，-

3

k

），此時(shí)TF的斜率k_TF=

- 3 k -0

4-1

=-

1

k

，
∴k_TFk_MN=-

1

k

•k=-1，
∴TF⊥MN．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是壓軸題．