Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-

2

，0），過F的直線交C于A，B兩點，設點A關于y軸的對稱點為A′，且|FA|+|FA′|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點A在第一象限，當△AFA′面積最大時，求|AB|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）設F′是橢圓的右焦點，由橢圓的性質及其定義可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．再利用b²=a²-c²即可得出．
（II）設A（x₁，y₁）（x₁＞0，y₁＞0），△AFA′面積S=

1

2

•2x1•y1=x₁y₁．由于1=

x 2 1

4

+

y 2 1

2

利用基本不等式的性質可得S≤

2

．當△AFA′面積取得最大時，

x 2 1

4

=

y 2 1

2

=

1

2

，解得A(

2

，1)，可得直線AB的方程為：y=

1

2 2

(x+

2

)，
設B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立可得B，利用|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

即可得出．

解答： 解：（I）設F′是橢圓的右焦點，
由橢圓的性質和定義可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．
解得a=2，
∵左焦點為F（-

2

，0），c=

2

，
∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）設A（x₁，y₁）（x₁＞0，y₁＞0），△AFA′面積S=

1

2

•2x1•y1=x₁y₁．
∵1=

x 2 1

4

+

y 2 1

2

≥2×

x1

2

×

y1

2

=

2

2

S，
∴S≤

2

．
當△AFA′面積取得最大時，

x 2 1

4

=

y 2 1

2

=

1

2

，解得x1=

2

，y₁=1．
由F（-

2

，0），A(

2

，1)，可得直線AB的方程為：y=

1

2 2

(x+

2

)，化為x-2

2

y+

2

=0，
設B（x₂，y₂），聯(lián)立

x-2 2 y+ 2 =0 x2+2y2=4

，解得

x1= 2 y1=1

，

x2=- 7 5 5 y2=- 1 5

，
可得B(-

7 5

5

，-

1

5

)．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

18

5

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、基本不等式的性質、弦長公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．