如圖,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.

（Ⅰ）求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;
（Ⅱ）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題以正三角形為幾何背景，考查四點(diǎn)共圓問(wèn)題以及相似三角形問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力.第一問(wèn)，利用已知條件中邊的比例關(guān)系可得出結(jié)論，再利用三角形相似，得出，所以，所以可證四點(diǎn)共圓；第二問(wèn)，根據(jù)所給正三角形的邊長(zhǎng)為2，利用已知的比例關(guān)系，得出各個(gè)小邊的長(zhǎng)度，從而得出為正三角形，所以得出，所以是所在圓的圓心，而是半徑，即為.
試題解析：(Ⅰ)證明:∵,   ∴,
∵在正中, , ∴,
又∵,, ∴, ∴,
即,所以四點(diǎn)共圓.               5分
(Ⅱ)解:如圖,

取的中點(diǎn),連接,則,
∵, ∴,
∵,, ∴為正三角形,
∴,即,
所以點(diǎn)是外接圓的圓心,且圓的半徑為.
由于四點(diǎn)共圓,即四點(diǎn)共圓,其半徑為.           10分
考點(diǎn)：1.四點(diǎn)共圓的證明；2.三角形相似；3.三角形的外接圓.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，在△ABC中，I為△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交△ABC外接圓于E.

求證：(1)IE＝EC；
(2)IE2＝ED·EA.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.求證：
 
(1)∠AED＝∠AFD；
(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.

（Ⅰ）求證:A,E,F, D四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，是⊙的直徑，弦的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，垂直的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

求證：（1）；
（2）四點(diǎn)共圓．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,為△外接圓的切線(xiàn),的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn),分別為弦與弦上的點(diǎn),且,四點(diǎn)共圓.

(Ⅰ)證明:是△外接圓的直徑;
(Ⅱ)若,求過(guò)四點(diǎn)的圓的面積與△外接圓面積的比值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線(xiàn)l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點(diǎn)，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證：

（1）l是⊙O的切線(xiàn)；
（2）PB平分∠ABD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，為圓的直徑，為垂直于的一條弦，垂足為，弦與交于點(diǎn).

（Ⅰ）證明：四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，

（I）
（II）

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