Question

已知f（x）=x²+2ax+3ln（2x+1）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求解f′（x）=2x+2a+

6

2x+1

，x＞0．利用基本不等式，）（2x+1）+

6

2x+1

≥2

6

（2x+1=

6

等號(hào)成立，即x=

6

2

-

1

2

）求解出f′（x）=（2x+1）+

6

2x+1

+2a-1≥2

6

+2a-1，據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得出2

6

+2a-1≥0即可．

解答： 解：∵f（x）=x²+2ax+3ln（2x+1）
∴f′（x）=2x+2a+

6

2x+1

，x＞0．
即f′（x）=（2x+1）+

6

2x+1

+2a-1，
∵x＞0，2x+1＞1，（2x+1）+

6

2x+1

≥2

6

（2x+1=

6

，即x=

6

2

-

1

2

時(shí)等號(hào)成立）
∴f′（x）=（2x+1）+

6

2x+1

+2a-1≥2

6

+2a-1，
∵在x∈（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴只需滿足2

6

+2a-1≥0，即a≥

1

2

-

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，結(jié)合結(jié)合基本不等式求解，屬于中檔題．