Question

如圖，曲線C₁：

x2

16

+

y2

m2

=1和C₂：

x2

16

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）的公共頂點為M（-4，0）和N（4，0），過原點O且不與x軸重合的直線l與C₁，C₂的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D，
（1）若m，n∈N^*，且當l傾斜角為45°時，B恰為A，O的中點，求m，n的值；
（2）若

S△MBD

S△ABN

=

m

n

=

2

+1，求直線l的方程；
（3）若存在直線l使

S△MBD

S△ABN

=

m

n

=λ，求λ取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由中點坐標公式代入方程，消x可得n²=

16

64 m2 +3

，從而求m、n；
（2）由S_△MBD=S_△ACN可化出邊長比，代入得

a2-( 2 +1)2a2

16

y2=0，從而求出a的值；
（3）仿照（2），從中化簡出等式

(λ2+1)(λ2-2λ-1)

4λ

=

a2n2

16

≥0，從而求出λ取值范圍．

解答： 解：（1）∵當l傾斜角為45°時，B恰為A，O的中點，
∴

4x2

16

+

4x2

m2

=1，

x2

16

+

x2

n2

=1，
化簡可得，n²=

16

64 m2 +3

，
又∵m，n∈N^*，
∴m=8，n=2；
（2）∵S_△MBD=S_△ACN，
∴

S △MBD

S△ABN

=

S△ACN

S△ABN

=

AC

AB

=

2

+1，
又∵

m

n

=

2

+1，∴m=（

2

+1）n；
設(shè)直線l的方程為x=ay，則B（ay，y），A（（

2

+1）ay，（

2

+1）y）；
∴

a2y2

16

+

y2

n2

=1，

( 2 +1)2a2y2

16

+

( 2 +1)2y2

( 2 +1)2n2

=1；
∴

a2-( 2 +1)2a2

16

y2=0，又∵y≠0，
∴a=0，
∴直線l的方程為：x=0．
（3）由（2）知，

AO

BO

=

λ+1

λ-1

，m=λn（λ＞1）；
設(shè)直線l的方程為x=ay，則B（ay，y），A（（

λ+1

λ-1

）ay，（

λ+1

λ-1

）y）；
代入化簡可得，

a2

16

+

1

n2

=

a2

16

(

λ+1

λ-1

)2+

1

n2

(λ+1)2

λ2(λ-1)2

；
即

(λ2+1)(λ2-2λ-1)

4λ

=

a2n2

16

≥0，
則λ²-2λ-1≥0，
則λ≥1+

2

．

點評：本題綜合考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，同時考查了學(xué)生的化簡能力，屬于難題．