Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）9個(gè)

【解析】

(1) 當(dāng)時(shí)，可得是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得是非奇非偶函數(shù).
(2) 當(dāng)時(shí), ,即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，只要使．然后求出的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值.
（3）當(dāng)時(shí)，，得到得或，問(wèn)題即求和和三個(gè)方程總的解的個(gè)數(shù)．

解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

當(dāng)時(shí)，，，

，

則是定義在上的偶函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，，

且，

所以是非奇非偶函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，，即已知在上恒成立，

即在上恒成立，

令，只要使．

，因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

即的最小值是，

解不等式，得．所以實(shí)數(shù)的最大值是．

（3）當(dāng)時(shí)，，解得或，

問(wèn)題即求和和三個(gè)方程總的解的個(gè)數(shù)．

由（1）得函數(shù)是偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

所以，且

由偶函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

方程有3個(gè)解；方程有2個(gè)解；

方程有4個(gè)解；所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是9個(gè)．