Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于K點(diǎn)．
（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)MO、NO分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)P、Q，求|PQ|+|MN|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)KM和KN的斜率分別為k₁，k₂，證明KF平分∠MKN，只需證k₁+k₂=0即可；
（2）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為(

y12

4

，y1)，(

y22

4

，y2)，利用三點(diǎn)共線(xiàn)可得P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my+1，代入拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求出|PQ|，|MN|，從而可求|PQ|+|MN|的最小值．

解答： （1）證明：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1…．（2分）
設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my+1，M、N的坐標(biāo)分別為(

y12

4

，y1)，(

y22

4

，y2)
由

x=my+1 y2=4x

⇒y2-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4…..（4分）
設(shè)KM和KN的斜率分別為k₁，k₂，顯然只需證k₁+k₂=0即可．
∵K（-1，0）
∴k1+k2=

y1

y 2 1 4 +1

+

y2

y 2 2 4 +1

=

4(y1+y2)(y1y2+4)

( y 2 1 +4)( y 2 1 +4)

=0…（6分）
（2）解：設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為(

y12

4

，y1)，(

y22

4

，y2)，
由M，O，P三點(diǎn)共線(xiàn)可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，-

4

y1

)，
同理可由N，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-

4

y2

)，…（7分）
設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my+1．
由

x=my+1 y2=4x

⇒y2-4my-4=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
則|PQ|=|

4

y1

-

4

y2

|=

4(y1-y2)

|y1y2|

=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

=4

m2+1

…（9分）
又直線(xiàn)MN的傾斜角為θ，則m=

1

tanθ

，θ∈(0，π)
∴|PQ|=4

1+ 1 tan2θ

=

4

sinθ

…．（10分）
同理可得|MN|═

4

sin2θ

…..（13分）
∴|PQ|+|MN|=

4

sinθ

+

4

sin2θ

≥8（θ=

π

2

時(shí)取到等號(hào)）   …..（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．