Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

x+a

（a≠

1

2

）．
（1）若a=-1，證明f（x）=

2x+1

x+a

在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）=

2x+1

x+a

在區(qū)間（-1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a=-1代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先將函數(shù)的表達(dá)式變形，分別討論函數(shù)在區(qū)間（-1，+∞）遞增，遞減是的情況，得到不等式組，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）a=-1時，f（x）=2+

3

x-1

，
∵f′（x）=-

3

(x-1)2

＜0，
∴f（x）在（1，+∞）遞減；
 （2）f（x）=2+

1-2a

x+a

，
∵a≠

1

2

，∴1-2a≠0，
當(dāng)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增時，

1-2a＜0 -a≤-1

，∴a≥1；
當(dāng)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減時，
∴

1-2a＞0 -a≤-1

，無解，
綜上：a≥1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了分類討論，是一道中檔題．