Question

已知常數(shù)a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，經(jīng)過原點(diǎn)O以c＋λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A(0，a)，以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得||＋||為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；請若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵c＋λi＝(0，a)＋λ(1，0)＝(λ，a)， 　　i－2λc＝(1，0)－2λ(0，a)＝(1，－2λa)， 　　∴直線OP與AP的方程分別為 　　λy＝ax和y－a＝－2λax，式中a＞0，λ∈R． 　　消去實(shí)數(shù)λ，得點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y－a)＝－2a2x2， 　　整理，得＝1，① 　　∵a＞0，所以得 　　(1)當(dāng)a＝時(shí)，方程①是圓的方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F． 　　(2)當(dāng)0＜a＜時(shí)，方程①表示橢圓，故焦點(diǎn)E()和F()為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)． 　　(3)當(dāng)a＞時(shí)，方程①也表示橢圓，故焦點(diǎn)E(0，)和F(0，)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)．

提示：

利用消元法，從求P點(diǎn)的軌跡方程入手，進(jìn)而討論軌跡方程的性質(zhì)，便可獲得本題的答案．