Question

已知A，B，C是橢圓m：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

3

，0），BC過(guò)橢圓m的中心，且

AC

•

BC

=0，且|

BC

|=2|

AC

|．
（1）求橢圓m的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（0，t）的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且|

DP

|=|

DQ

|．求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖，點(diǎn)A是橢圓m的右頂點(diǎn)，∴a=2

3

；由

AC

•

BC

=0，得AC⊥BC；由|

BC

|=2|

AC

|和橢圓的對(duì)稱性，得|

AC

|=|

OC

|；這樣，可以得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)M的直線l，與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q；當(dāng)斜率k=0時(shí)，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，則-2＜t＜2；當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)過(guò)M點(diǎn)的直線l：y=kx+t與橢圓方程組成方程組，消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程，由判別式△＞0，得不等式①，由x₁+x₂的值可得PQ的中點(diǎn)H坐標(biāo)，由|

DP

|=|

DQ

|，得DH⊥PQ，所以斜率kDH=-

1

k

，這樣得等式②；
由①②可得t的范圍．

解答：解（1）如圖所示，
∵|

BC

|=2|

AC

|，且BC過(guò)點(diǎn)O（0，0），則|

OC

|=|

AC

|；
又 

AC

•

BC

=0，∴∠OCA=90°，且A（2

3

，0），則點(diǎn)C(

3

，

3

)，
由a=2

3

，可設(shè)橢圓的方程m：

x2

12

+ 

y2

12-c2

 =1；
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程m，得

3

12

+

3

12-c2

=1，解得c²=8，b²=4；
∴橢圓m的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）如圖所示，
由題意，知D（0，-2），∵M(jìn)（0，t），
∴1°當(dāng)k=0時(shí)，顯然-2＜t＜2，
   2°當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)l：y=kx+t，則

x2 12 + y2 4 =1 y=kx+t

，消去y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0；
由△＞0，可得t²＜4+12k² ①
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且PQ的中點(diǎn)為H（x₀，y₀）；
則x₀=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，y₀=kx₀+t=

t

1+3k2

，∴H(-

3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

)；
由

|DP

|=

|DQ

|，∴DH⊥PQ，則k_DH=-

1

k

，∴

t 1+3k2 +2

- 3kt 1+3k2 -0

=-

1

k

；
∴t=1+3k² ②
∴t＞1，將①代入②，得1＜t＜4，∴t的范圍是（1，4）；
綜上，得t∈（-2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓知識(shí)的綜合應(yīng)用，以及向量在解析幾何中的應(yīng)用；用數(shù)形結(jié)合的方法比較容易理清思路，解得結(jié)果．