Question

5．已知△ABC的三邊a、b、c成等比數列，a、b、c所對的角依次為A、B、C．則sinB+cosB的取值范圍是（　�。�

• A． $（1\;，\;\;1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}\;，\;\;1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• C． $（1\;，\;\;\sqrt{2}]$
• D． $[\frac{1}{2}\;，\;\;\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由△ABC的三邊長a、b、c成等比數列，可得b²=ac．可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，利用基本不等式的性質可得B的取值范圍，進而可求B+$\frac{π}{4}$的范圍，利用兩角和的正弦函數公式化簡可得sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），利用正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 解：∵△ABC的三邊長a、b、c成等比數列，
∴b²=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，當且僅當a=c時取等號．
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
∴可得：B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
故選：C．

點評 本題考查了等比數列的性質、余弦定理、基本不等式的性質、三角函數求值，正弦函數的圖象和性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．