Question

（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足，（）.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足（），證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：（）.

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析。

試題分析：（1）構(gòu)造等比數(shù)列的思想得到數(shù)列的通項公式的求解。
（2）在第一問的基礎(chǔ)上表述出bn的關(guān)系式，利用整體的思想得到證明。
（3）結(jié)合數(shù)列的放縮的思想，對于通項公式放縮得到求和的放縮結(jié)論。
解：（Ⅰ）因為，所以.               （2分）
所以數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.                 （3分）
所以，.                                    （4分）
（Ⅱ）因為，所以.   （5分）
即  ①                             （6分）
所以  ②             （7分）
②-①得：，即  ③    （8分）
所以  ④                                  （9分）
④-③得，即.                  （10分）
所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列.
（Ⅲ）因為，                      （12分）
設(shè)，
則                （13分）
所以.                               （14分）
點評：解決該試題的關(guān)鍵是構(gòu)造等比數(shù)列的思想得到數(shù)列an的通項公式，進而為求解bn得到突破口，表示出bn的值，來得到證明。