Question

19．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁B₁B是邊長為2的正方形，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求證：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）求三棱錐A-B₁CC₁體積．

Answer 1

分析 （I）證AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，再由線面垂直⇒面面垂直；
（II）直接利用體積公式求得三棱錐A-B₁CC₁體積．

解答 （Ⅰ）證明：由側(cè)面ABB₁A₁為正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面ABB₁A₁，所以平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．…（4分）
（Ⅱ）解：由題意，三棱錐A-B₁CC₁體積=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的判定及空間幾何體的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定是關(guān)鍵．