Question

（本小題滿分13分）已知圓．

（Ⅰ）寫出圓C的標準方程, 并指出圓心坐標和半徑大小;

（Ⅱ）是否存在斜率為的直線m, 使m被圓C截得的弦為AB, 且（為坐標原點）．若存在, 求出直線m的方程; 若不存在,說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由圓的一般方程得其圓心，半徑為，從而可得圓C的標準方程，此題也可以通過配方法直接得到圓C的標準方程，然后再寫出其圓心坐標和半徑；（Ⅱ）首先根據(jù)題意設出的方程，然后與圓的方程聯(lián)立消得關于的一元二次方程，運用韋達定理得到兩根的和及積的關系，然后再根據(jù)不難得出關于兩根和及積的方程，從而可求直線的方程.

試題解析：（Ⅰ）根據(jù)圓的一般方程結合已知得：，則

， ，

即圓心C的坐標為，半徑為，所以圓C的標準方程為：；

（Ⅱ）根據(jù)題意可設直線, 代入圓的方程得：，

因為直線與圓相交, 所以 ，

設, 則，由得:

，

, 得或，

均滿足,故所求直線存在，且方程為或.

考點：①圓的一般方程和標準方程；②直線方程；③兩直線垂直的斜率關系；④韋達定理；⑤數(shù)形結合思想和方程思想.