Question

函數(shù)f（x）=-

1

b

e^ax（a＞0，b＞0）的圖象在x=0處的切線與圓x²+y²=1相切，則ab的最大值是（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、

  2

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：求導數(shù)，求出切線方程，利用切線與圓x²+y²=1相切，可得a²+b²=1，利用基本不等式，可求ab的最大值．

解答：解：求導數(shù)，可得f′(x)=-

a

b

eax
令x=0，則f′(0)=-

a

b

又f（0）=-

1

b

，則切線方程為y+

1

b

=-

a

b

x，即ax+by+1=0
∵切線與圓x²+y²=1相切，
∴

1

a2+b2

=1，
∴a²+b²=1
∵a＞0，b＞0
∴a²+b²≥2ab，
∴ab≤

1

2

，∴ab的最大值是

1

2

，此時a=b=

2

2

．
故選：B．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查直線與圓相切，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．