Question

已知點A，B是拋物線C：y²=2px（p＞0）上不同的兩點，點D在拋物線C的準(zhǔn)線l上，且焦點F到直線x-y+2=0的距離為

3 2

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）現(xiàn)給出以下三個論斷：①直線AB過焦點F；②直線AD過原點O；③直線BD平行x軸．請你以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并加以證明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由F(

p

2

，0)，求出p=2，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）①命題：若直線AB過焦點F，且直線AD過原點O，則直線BD平行x軸．利用直線與拋物線的位置關(guān)系進(jìn)行證明；
②命題：若直線AB過焦點F，且直線BD平行x軸，則直線AD過原點O．利用直線與拋物線的位置關(guān)系進(jìn)行證明；
③命題：若直線AD過原點O，且直線BD平行x軸，則直線AB過焦點F．利用直線與拋物線的位置關(guān)系進(jìn)行證明．

解答： 解：（I）因為F(

p

2

，0)，
依題意得d=

| p 2 -0+2|

2

=

3 2

2

，…（2分）
解得p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）①命題：若直線AB過焦點F，且直線AD過原點O，則直線BD平行x軸．…（5分）
設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由

x=ty+1 y2=4x

得y²-4ty-4=0，∴y₁y₂=-4，…（8分）
直線AD的方程為y=

y1

x1

x，…（9分）
所以點D的坐標(biāo)為(-1，-

y1

x1

)，
∴-

y1

x1

=-

4y1

y 2 1

=-

4

y1

=y2，…（12分）
∴直線DB平行于x軸．…（13分）
②命題：若直線AB過焦點F，且直線BD平行x軸，則直線AD過原點O．…（5分）
設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由

x=ty+1 y2=4x

得y²-4ty-4=0，∴y₁y₂=-4，…（8分）
即點B的坐標(biāo)為(x2，-

4

y2

)，…（9分）
∵直線BD平行x軸，
∴點D的坐標(biāo)為(-1，-

4

y1

)，…（10分）
∴

OA

=(x1，y1)，

OD

=(-1，-

4

y1

)，
由于x1(-

4

y1

)-y1(-1)=-y1+y1=0，
∴

OA

∥

OD

，即A，O，D三點共線，…（12分）
∴直線AD過原點O．…（13分）
③命題：若直線AD過原點O，且直線BD平行x軸，則直線AB過焦點F．…（5分）
設(shè)直線AD的方程為y=kx（k≠0），則點D的坐標(biāo)為（-1，-k），…（6分）
∵直線BD平行x軸，
∴y_B=-k，∴xB=

k2

4

，即點B的坐標(biāo)為(

k2

4

，-k)，…（8分）
由

y=kx y2=4x

得k²x²=4x，
∴xA=

4

k2

，yA=

4

k

，即點A的坐標(biāo)為(

4

k2

，

4

k

)，…（10分）
∴

FA

=(

4

k2

-1，

4

k

) ， 

FB

=(

k2

4

-1，-k)，
由于(

4

k2

-1)(-k)-

4

k

•(

k2

4

-1)=-

4

k

+k-k+

4

k

=0，
∴

FA

∥

FB

，即A，F(xiàn)，B三點共線，…（12分）
∴直線AB過焦點F．…（13分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查正確命題的判斷與證明，解題時要認(rèn)真審題，要熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)，注意拋物線與直線的位置關(guān)系的綜合運用．