Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）證明：SD⊥平面SAB
（2）求AB與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取AB中點E，連結DE，證明SD⊥平面SAB，只需證明SD⊥SE，AB⊥SD；
（2）求出F到平面SBC的距離，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC的距離，從而可求AB與平面SBC所成角的正弦值．

解答： （1）證明：取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2．
連結SE，則SE⊥AB，SE=

3

又SD=1，故ED²=SE²+SD²
所以∠DSE為直角，
所以SD⊥SE，
由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．
因為AB∩SE=E，
所以SD⊥平面SAB…6分
（2）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．
作SF⊥DE，垂足為F，則SF⊥平面ABCD，SF=

SD×SE

DE

=

3

2

作FG⊥BC，垂足為G，則FG=DC=1．
連結SG，則SG⊥BC
又FG⊥BC，SG∩FG=G，
故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，
作FH⊥SG，H為垂足，則FH⊥平面SBC，FH=

SF×FG

SG

=

3

7

即F到平面SBC的距離為

21

7

．
由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距離d也為

21

7

．
設AB與平面SBC所成的角為α，則sinα=

d

EB

=

21

7

…12分．

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，正確求出E到平面SBC的距離是關鍵．