Question

（2010•南京三模）對(duì)函數(shù)f（x）=xsinx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點(diǎn)（π，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減．
其中是真命題的是

①④

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：本題中①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來(lái)證明之；②研究的是函數(shù)的周期性，利用周期性定義證明之；③研究的是函數(shù)的圖象對(duì)稱性，可以利用對(duì)稱性的性質(zhì)來(lái)證明；④研究函數(shù)的單調(diào)性，可用兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷．

解答：解：對(duì)于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)①正確；
對(duì)于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函數(shù)f（x）的最小正周期是2π，②不正確；
對(duì)于③，由于f（

π

2

）+f（

3π

2

）=

π

2

-

3π

2

=-π≠0故點(diǎn)（π，0）不是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故③不正確；
對(duì)于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區(qū)間[0，

π

2

]上f'（x）＞0，在區(qū)間[-

π

2

，0]上f'（x）＜0，由此知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減，故④正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對(duì)稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識(shí)性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意準(zhǔn)確運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)確解題．