如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心AA1=2
2
，C1H⊥平面AA1B1B且C1H=
5
．
（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A1C1-B1的正弦值．
分析：（1）通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得出；
（2）先求出兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．
解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點．
依題意得A(2
2
，0，0)，B（0，0，0），C(
2
，-
2
，
5
)，A1(2
2
，2
2
，0)，
B1(0，2
2
，0)，C1(
2
，
2
，
5
)．
（1）易得
AC
=(-
2
，-
2
，
5
)，
A1B1
=(-2
2
，0，0)
于是cos＜
AC
，
A1B1
＞=
AC
•
A1B1
|
AC
| |
A1B1|
=
4
3×2
2
=
2
3
．
∴異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為
2
3
．
（2）易知
AA1
=(0，2
2
，0)，
A1C1
=(-
2
，-
2
，
5
)．
設(shè)平面AA1C1的法向量
m
=(x，y，z)，則
m
•
A1C1
=0
m
•
AA1
=0
，即
-
2
x-
2
y+
5
z=0
2
2
y=0
，
不妨令x=
5
，則z=
2
，可得
m
=(
5
，0，
2
)．
同樣可設(shè)面A1B1C1的法向量
n
=(x1，y1，z1)，得
n
=(0，
5
，
2
)．
于是cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
| |
n
|
=
2
7
7
=
2
7
，∴sin＜
m
，
n
＞=
3
5
7
．
∴二面角A-A1C-B1的正弦值為
3
5
7
．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用異面直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角、兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
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如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心數(shù)學公式平面AA1B1B且數(shù)學公式．
（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A1C1-B1的正弦值．

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A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

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