Question

13．已知函數(shù)f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），若對x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值為$\frac{π-3}{2}$，則函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值為$\frac{π-3}{2}$，求解出a的指．函數(shù)f（x）的零點看成兩個函數(shù)的圖象的交點問題．

解答 解：函數(shù)f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），
∴f′（x）=a（sinx+xcosx），
當(dāng)a≤0時，f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，最大值f（0）=-$\frac{3}{2}$，不適合題意，
所以a＞0，此時f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，最大值f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$a-$\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，解得a=1，符合題意，故a=1．
∴f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$在x∈（0，π）上的零點個數(shù)，即為函數(shù)y=sinx，y=$\frac{3}{2x}$的圖象在x∈（0，π）上的交點個數(shù)．
又x=$\frac{π}{2}$時，sin$\frac{π}{2}$=1＞$\frac{3}{π}$＞0，所以兩圖象在x∈（0，π）內(nèi)有2個交點，
即f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$在x∈（0，π）上的零點個數(shù)是2．
故選C．

點評 本題考察了利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，和函數(shù)f（x）的零點問題．屬于中檔題．