Question

已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求的最小值。

Answer 1

【錯解分析】=a²+b²+++4
≥2ab++4
≥4+4=8,
∴(a+)²+(b+)²的最小值是8.
上面的解答中，兩次用到了基本不等式a²+b²≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。
【正解】原式= a²+b²+++4
="(" a²+b²)+(+)+4
=[(a+b)²－2ab]+[(+)²－]+4
= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()²= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號成立)，
∴(a + )² + (b + )²的最小值是。
【點(diǎn)評】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。