Question

如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，
AB∥CD，CD=2AB=2AD．
（Ⅰ）求證：BC⊥BE；
（Ⅱ）求直線CE與平面BDE所成角的正切值；
（Ⅲ）在EC上找一點M，使得BM∥平面ADEF，請確定M點的位置，并給出證明．

Answer 1

考點：直線與平面平行的性質,直線與平面所成的角

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（I）根據面面垂直的性質可證DE⊥平面ABCD，利用勾股定理證明BC⊥BE；
（II）根據直線與平面所成角的定義證明∠CEB為CE與面BDE所成的角，在Rt△BCE中，求tan∠CEB的值；
（III）取EC中點M，利用面面平行證明BM∥面ADEF．

解答： 解：（I）由已知：平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD．
DE⊥AD，DE?PMADEF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BC，
設CD=2AB=2AD=2，∴DE=1，則BC=

2

，BD=

2

，BE=

3

，CE=

5

，
∴CE²=BE²+BC²，∴BC⊥BE；
（II）由（1）可知：BC⊥BE，由BC⊥DE，∴BC⊥平面BDE，
∴∠CEB為CE與面BDE所成的角．
在Rt△BCE中，tan∠CEB=

BC

BE

=

2

3

=

6

3

，
（III）取EC中點M，則BM∥面ADEF，
證明如下：取CD的中點P，連結MB、MP，則BP∥AD，∴BP∥面ADEF，
又M、P分別為EC、DC的中點，∴MP∥ED，∴MP∥面ADEF，又BP∩MP=P，∴面BMP∥面ADEF，
BM?平面BMP，∴BM∥面ADEF．

點評：本題考查了面面平行、面面垂直的性質及直線與平面所成角的求法，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力，綜合性強．