(2013•哈爾濱一模)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a)
(Ⅰ)當(dāng)a=5時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)a=5時(shí),表達(dá)式中對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,即|x-1|+|x-5|-5>0,分情況討論不等式的解集,最后取并集即可得到函數(shù)f(x)的定義域.
(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,即不等式|x-1|+|x-5|>a恒成立,根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出左邊的最小值,即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=5時(shí),要使函數(shù)f(x)有意義,
即不等式|x-1|+|x-5|-5>0成立,------------------①
①當(dāng)x≤1時(shí),不等式①等價(jià)于-2x+1>0,解之得x
1
2
;
②當(dāng)1<x≤5時(shí),不等式①等價(jià)于-1>0,無實(shí)數(shù)解;
③當(dāng)x>5時(shí),不等式①等價(jià)于2x-11>0,解之得x
11
2

綜上所述,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞,
1
2
)∪(
11
2
,+∞).
(Ⅱ)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,
∴不等式|x-1|+|x-5|-a>0恒成立,
∴只要a<(|x-1|+|x-5|)min即可,
又∵|x-1|+|x-5|≥|(x-1)+(x-5)|=4,(當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤5時(shí)取等號(hào))
∴a<(|x-1|+|x-5|)min即a<4,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,4).
點(diǎn)評(píng):本題給出含有絕對(duì)值的對(duì)數(shù)形式的函數(shù),求函數(shù)的定義域并討論不等式恒成立.著重考查了函數(shù)的定義域及其求法和絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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3
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